Fondation Jean Piaget

Par structures logiques élémentaires il faut entendre les 8 groupements d'opérations logiques. Quatre de ces groupements concernent les opérations de classification logiques (exemple: la classification des espèces biologiques, ou la classification d'objets selon leur grandeur ou leur couleur, etc.), et notamment les opérations (ou l'opération) d'addition logique (avec leur inverse: la soustraction), et les opérations de multiplication logique (avec leur inverse: la division ou abstraction logique). Quatre autres concernent les opérations des relations (et en particulier l'addition des relations asymétriques).

Exemple d'opérations additives: la classe des fleurs est le résultat de l'addition des sous-classes de tulipes, de roses, etc.; et la sous-classe des tulipes est le résultat de la soustraction de toutes les fleurs qui ne sont pas des tulipes à la classe des fleurs) (A+A'=B, B-A'=A).

Exemple d'opération additive des relations asymétriques: si a est plus grand que b, et si b est plus grand que c, je peux conclure que a est plus grand que c, et que la différence entre a et c est l'addition des différences entre a et b et b et c.

Pourquoi ces opérations ne sont-elles pas "mathématiques" (en un certain sens seulement du terme "mathématique")?

Dans l'exemple des fleurs, du fait logique que les tulipes sont une sous-classe de fleurs, on peut en conclure qu'il y a plus de fleurs que de tulipes (à condition bien sûr qu'ils existent d'autres fleurs que les tulipes), alors même que l'on ne connaît et ne peut connaître ni le nombre de fleurs ni le nombre de tulipes).

Dans l'exemple de la relation asymétrique de grandeur (entendue dans un sens logique et non pas arithmétique), je sais que avec certitude que a est plus grand que c, si je sais par ailleurs que a est plus grand que b et que b est plus grand que c: la différence entre a et c est en effet l'addition de la différence entre a et b et de la différence entre b et c. Et ce savoir là n'est pas un savoir "mathématique" (au sens où Piaget prend parfois le terme mathématique) dans la mesure où précisément il concerne ce que Piaget appelle des quantités intensives (= logiques) et non pas "extensives" (=arithmétiques ou métriques).

De ce qui précède et pour bien entendre la distinction que fait Piaget entre la notion de "structure logique élémentaire", qu'il oppose aux structures arithmétiques ou géométriques (ici le "métrique" est important), il suffit en première approximation d'avoir à l'esprit ces deux exemples: je peux réponse à un problème de quantification logique (qu'il concerne l'addition des classes, ou la sériation logique) sans avoir connaissance du nombre d'éléments en jeu, ou de la grandeur métrique de ces éléments. Je n'ai pas besoin de compter le nombre de fleurs d'un bouquet et le nombre de telles sous-espèces de fleurs qu'il contient, par exemple le nombre de tulipes, puis de comparer ces nombres pour savoir qu'il y a plus de fleurs que de tulipes.

J'espère que ce qui précède suffira à se faire une idée suffisamment précise de ce que Piaget a en vue lorsqu'il parle des structures logiques élémentaires (qu'il oppose aux structures arithmétiques élémentaires ou aux structures métriques élémentaires, tout en mettant en évidence une parenté, une similitude et plus précisément un isomorphisme important des unes et des autres).

JJD